Критерий Стьюдента Критерий Уэлча

КРИТЕРИИ ОДНОРОДНОСТИ
Лабораторная работа № 20
Критерий Стьюдента. Критерий Уэлча.

На практике часто встречаются задачи проверки полной или частичной однородности двух или нескольких генеральных совокупностей по выборкам из них. Полная однородность означает, что выборки получены из одной и той же генеральной совокупности. Частичная однородность — когда проверяется совпадение лишь части характеристик генеральных совокупностей, из которых взяты выборки. Например, может проверяться равенство генеральных средних (математических ожиданий) или дисперсий двух или нескольких выборок. Для проверки гипотез об однородности применяют различные критерии однородности.

Часто встречается случай, когда проверяется гипотеза о равенстве двух средних
(математических ожиданий): M₁ = M₂, и генеральные
дисперсии
σ₁ и σ₂ не известны с высокой точностью.
Если есть уверенность, что σ₁ = σ₂ (это возможно, например, когда проведены две серии многократных равноточных измерений какой-либо характеристики двух однотипных объектов), возможно применение двухвыборочного критерия Стьюдента. Проверять равенство дисперсий — например, по критерию Фишера — не рекомендуется, поскольку при этом фактический уровень значимости может значительно отличаться от принятого из-за последовательного применения двух критериев.

При проверке по критерию Стьюдента рассчитывают оценку среднеквадратического отклонения:

Здесь s₁² и
s₂²— выборочные дисперсии
1й и 2й выборок, n₁ и n₂ –
объёмы выборок.

Далее находят расчётное значение критерия Стьюдента:

Здесь x̄₁ и
x̄₂ – средние арифметические выборок.

При выбранном уровне значимости α и числе степеней свободы
k = n₁+n₂ — 2
находят табличное значение (процентную точку) критерия Стьюдента
t_α,k. При

|t| ≤ t_α,k

проверяемую нулевую гипотезу равенства средних не отвергают. При этом в случае альтернативной
гипотезы
M₁ ≠ M₂
используют двусторонний критерий Стьюдента (в MS Excel формула СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х).
При альтернативе
M₁ > M₂
используют односторонний критерий Стьюдента (в MS Excel формула СТЬЮДЕНТ.ОБР).

Если σ₁ ≠ σ₂,
предложено несколько приближённых методов проверки равенства средних. Наиболее часто применяют критерий Уэлча (иногда встречаются названия «критерий Сатервайта» и «критерий Крамера-Уэлча»). Критерий Уэлча применим также и при σ₁ = σ₂, вместо критерия Стьюдента, хотя при этом имеет немного меньшую мощность. В то же время, в отличие от критерия Стьюдента, критерий Уэлча более устойчив к нарушениям нормальности, а также может быть обобщён для случая нескольких выборок. Часто рекомендуют применять критерий Уэлча вместо критерия Стьюдента во всех случаях.

По критерию Уэлча находят его расчётное значение:

где

При

|t| ≤ t_α,k

проверяемую нулевую гипотезу равенства средних не отвергают.
Здесь t_α,k – также процентная точка критерия Стьюдента, но
при числе степеней свободы, рассчитываемом чаще всего как

Здесь также в случае альтернативной гипотезы M₁ ≠ M₂ используют двусторонний критерий
Стьюдента
(в MS Excel формула СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х). При альтернативеM₁ > M₂ используют односторонний
критерий Стьюдента (в MS Excel формула СТЬЮДЕНТ.ОБР).

Пример 20.1. Определение содержания оксида кремния в мартеновском шлаке проводили двумя методами, весовым и фотометрическим. Получены результаты параллельных определений, %, распределённые нормально. Весовым методом: 19,9 20,7 20,5 19,8 20,3 20,1 20,5 20,2 19,9 20,2. фотометрическим методом: 20,4 20,5 20,3 21,2 21,1 20,3 21,1 20,6. Значимо ли расхождение между результатами по этим методам при уровнях значимости 0,01, 0,05 и 0,1.

Необходимо проверить гипотезу о равенстве средних. Поскольку измерения проводились разными методами, генеральные дисперсии скорее всего не равны. Поэтому проверку проводим по критерию Уэлча. Возможный вариант выполнения примера 20.1 показан на рисунке 20.1.

В столбцы B и С вводим результаты параллельных определений.
Рассчитываем характеристики выборок: объёмы (функция СЧЁТ), средние арифметические (функция СРЗНАЧ), дисперсии (функция ДИСП.В или ДИСП). При этом для автоматического пересчёта электронной таблицы в случае ввода других выборок необходимо задавать диапазоны, учитывающие, например, до тысячи значений. Номера значений в выборках также следует задать до тысячи (для этого возможно, выделив номера 1 и 2, захватить указателем мыши нижний правый угол выделенного диапазона и протянуть вниз). Вводим также уровень значимости. Рассчитываем значения s_d, t_расч.
Поскольку для расчёта числа степеней свободы формула достаточно сложна для ввода, рассчитываем отдельно числитель и знаменатель, а затем число степеней свободы находим как их отношение.

Поскольку критическая область двусторонняя (альтернатива двусторонняя — не равно, т.е. больше или меньше), t_табл находим по функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х, определяющей двустороннее обратное распределение Стьюдента (аналогична ей функция СТЬЮДРАСПОБР). С использованием вложенных формул ЕСЛИ выводим сообщение о равенстве или неравенстве средних.

Задание.

1. Выполнить расчёты в соответствии с примером 20.1.

2. Фотометрическим методом получены ещё четыре значения: 20,2 20,3 21,2 21,1. проверить значимость расхождений результатов с учётом этих значений.

© В.В. Заляжных

При копировании материалов прямая индексируемая ссылка на сайт обязательна